2. В параллелограмме ABCD ∠B = 140°. Точка F лежит на стороне ВС, причем ∠ADF = 70°; BF = 5 см, AD = 20 см. Найдите АВ.

Решение:

В параллелограмме ABCD противолежащие стороны равны, значит \( AD = BC = 20 \) см.

Угол \( ∠C = 180° - ∠B = 180° - 140° = 40° \).

В параллелограмме противоположные углы равны, значит \( ∠D = ∠B = 140° \) и \( ∠A = ∠C = 40° \).

Рассмотрим треугольник \( ADF \).

\( ∠DAF \) - это угол \( ∠A \) параллелограмма, который равен \( 40° \).

\( ∠ADF = 70° \) по условию.

Сумма углов в \( ADF \) равна \( ∠DAF + ∠ADF + ∠AFD = 180° \).

\[ 40° + 70° + ∠AFD = 180° \]

\[ 110° + ∠AFD = 180° \]

\[ ∠AFD = 180° - 110° = 70° \]

Так как \( ∠ADF = ∠AFD = 70° \), то треугольник \( ADF \) равнобедренный с основанием \( AF \). Следовательно, \( AD = AF = 20 \) см.

Поскольку \( F \) лежит на стороне \( BC \), то \( BC = BF + FC \). Нам известно, что \( BF = 5 \) см, а \( BC = 20 \) см. Следовательно, \( FC = BC - BF = 20 - 5 = 15 \) см.

В параллелограмме противоположные стороны равны, значит \( AB = CD \) и \( AD = BC \).

Рассмотрим треугольник \( CDF \). Мы знаем, что \( FC = 15 \) см и \( ∠C = 40° \). Нам также известно, что \( AD = 20 \) см. В параллелограмме \( AB \) параллельна \( CD \) и \( AD \) параллельна \( BC \).

Угол \( ∠ADC = 140° \). \( ∠ADF = 70° \). Следовательно, \( ∠CDF = ∠ADC - ∠ADF = 140° - 70° = 70° \).

В треугольнике \( CDF \) имеем:

\( ∠C = 40° \)

\( ∠CDF = 70° \)

\( ∠CFD = 180° - (40° + 70°) = 180° - 110° = 70° \)

Так как \( ∠CDF = ∠CFD = 70° \), то треугольник \( CDF \) равнобедренный с основанием \( CD \). Следовательно, \( CD = FC \).

Но \( FC = 15 \) см. Значит, \( CD = 15 \) см.

Поскольку \( AB = CD \), то \( AB = 15 \) см.

Ответ: 15 см.