2. В правильной треугольной пирамиде SABC (с вершиной Ѕ) сторона основания равна 6, а боковое ребро равно √21. Найдите угол между плоскостями SAB и АВС.

Решение: 1. Обозначим сторону основания пирамиды через a = 6, а боковое ребро через b = √21. 2. Проведем высоту SO из вершины S к основанию ABC. Так как пирамида правильная, то O является центром треугольника ABC, который также является точкой пересечения медиан, биссектрис и высот. Также отметим точку M как середину стороны AB. 3. Отрезок CM является медианой и высотой треугольника ABC. Вычислим длину CM. В правильном треугольнике: $$CM = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$$. 4. Вычислим длину CO (2/3 от длины медианы): $$CO = \frac{2}{3} CM = \frac{2}{3} \cdot 3\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$$. 5. Рассмотрим прямоугольный треугольник SOC. По теореме Пифагора найдем SO: $$SO = \sqrt{SC^2 - CO^2} = \sqrt{(\sqrt{21})^2 - (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{21 - 12} = \sqrt{9} = 3$$. 6. Найдем длину SM (апофема боковой грани). Рассмотрим прямоугольный треугольник SMB, где $$BM = \frac{1}{2}AB = 3$$. $$SM = \sqrt{SB^2 - BM^2} = \sqrt{(\sqrt{21})^2 - 3^2} = \sqrt{21 - 9} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$$. 7. Рассмотрим треугольник SOM. Мы знаем, что $$SO = 3$$, $$OM = \frac{1}{3}CM = \frac{1}{3}(3\sqrt{3}) = \sqrt{3}$$, $$SM = 2\sqrt{3}$$. 8. Угол между плоскостями SAB и ABC - это угол SMO. Обозначим его как α. Рассмотрим прямоугольный треугольник SOM. $$tan(\alpha) = \frac{SO}{OM} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$$ 9. Таким образом, α = arctan(√3). Это значение соответствует углу в 60 градусов. Ответ: Угол между плоскостями SAB и ABC равен 60 градусам.