2. В прямоугольном треугольнике ABC катет AC = 25, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна 10√6. Найдите sin ∠ABC.

Обозначим второй катет BC через x, а гипотенузу AB через c. Высота к гипотенузе равна произведению катетов, делённому на гипотенузу:

\(10\sqrt{6}=\frac{25x}{c}\), поэтому \(c=\frac{5x}{2\sqrt{6}}\).

По теореме Пифагора \(c^2=25^2+x^2\). Подставим выражение для c:

\(\frac{25x^2}{24}=625+x^2\), откуда \(x^2=15000\), а \(c^2=15625\), значит, \(c=125\).

Синус угла B — отношение противолежащего катета AC к гипотенузе AB: \(\sin\angle ABC=\frac{25}{125}=\frac15\).

Ответ: \(\frac15\).