№2. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С проведена высота СН, причем СH = 8 см, ∠B = 45°. Найдите гипотенузу АВ.

Решение задачи №2:

Дано:

• ╨ ABC — прямоугольный (∠C = 90°)


• CH — высота


• CH = 8 см


• ∠B = 45°

Найти: AB

Шаг 1: Найдем углы в треугольнике ABC.

Так как ╨ ABC прямоугольный и ∠C = 90°, а ∠B = 45°, то сумма углов в треугольнике равна 180°. Следовательно:

∠A = 180° - 90° - 45° = 45°

Таким образом, ╨ ABC — равнобедренный прямоугольный треугольник, так как ∠A = ∠B = 45°.

Шаг 2: Найдем стороны AC и BC.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике катеты равны. Отношение катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике:

• ∠B = 45°. В прямоугольном ╨ CBH (т.к. CH - высота, ∠CHB = 90°), ∠B = 45°, значит ∠BCH = 180° - 90° - 45° = 45°.


• Следовательно, ╨ CBH — равнобедренный прямоугольный треугольник, и катеты CH и BH равны: BH = CH = 8 см.


• Так как ╨ ABC равнобедренный, то AC = BC.


• В прямоугольном ╨ CBH, по теореме Пифагора:

СB^2 = CH^2 + BH^2 = 8^2 + 8^2 = 64 + 64 = 128

СB = √128 = √(64 × 2) = 8√2 см.

Поскольку AC = BC, то AC = 8√2 см.

Шаг 3: Найдем гипотенузу AB.

Теперь, когда мы знаем катеты AC и BC, мы можем найти гипотенузу AB по теореме Пифагора в ╨ ABC:

AB^2 = AC^2 + BC^2

AB^2 = (8√2)^2 + (8√2)^2

AB^2 = (64 × 2) + (64 × 2)

AB^2 = 128 + 128 = 256

AB = √256 = 16 см.

Альтернативный способ (используя отношение сторон в прямоугольном треугольнике с углами 45°, 45°, 90°):

В прямоугольном треугольнике ABC, ∠A = ∠B = 45°, значит AC = BC.

В прямоугольном ╨ CBH, ∠B = 45°, CH = 8 см. Так как ∠BCH = 45°, то BH = CH = 8 см.

Гипотенуза CB = BH • √2 = 8√2 см.

Так как ╨ ABC равнобедренный, AC = BC = 8√2 см.

Гипотенуза AB = AC • √2 = (8√2) • √2 = 8 • 2 = 16 см.

Ответ: 16 см.