2. В прямоугольном треугольнике один из углов равен 60°, а сумма длин гипотенузы и меньшего из катетов равна 16,5 см. Найдите гипотенузу треугольника.

Решение:

Обозначим прямоугольный треугольник как ABC, где угол C — прямой (90°).

1. Углы треугольника: Дано, что один из острых углов равен 60°. Пусть это будет угол A = 60°. Тогда второй острый угол B = 90° - 60° = 30°.
2. Стороны треугольника: В прямоугольном треугольнике напротив угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. У нас это катет BC. Пусть гипотенуза AB = c. Тогда катет BC = c/2.
3. Меньший катет: Угол B = 30°, угол A = 60°. Значит, катет BC (противолежащий углу 30°) является меньшим катетом.
4. Уравнение: По условию, сумма гипотенузы и меньшего катета равна 16,5 см.
• \[ c + \frac{c}{2} = 16.5 \]
5. Решение уравнения:
• Приведем к общему знаменателю:
• \[ \frac{2c}{2} + \frac{c}{2} = 16.5 \]
• \[ \frac{3c}{2} = 16.5 \]
• \[ 3c = 16.5 \times 2 \]
• \[ 3c = 33 \]
• \[ c = \frac{33}{3} \]
• \[ c = 11 \]

Ответ: Гипотенуза треугольника равна 11 см.