3. В окружности с центром О проведены хорды АВ и CD так, что АВ = CD. Точки Е и F — середины хорд АВ и CD соответственно. Докажите, что OE = OF.

Решение:

Рассмотрим два треугольника: ╊OB и ╊COD.

1. Равные хорды: По условию, хорды AB и CD равны: AB = CD.
2. Радиусы окружности: OA, OB, OC, OD — это радиусы одной окружности, поэтому OA = OB = OC = OD.
3. Треугольники ╊OB и ╊COD:
• По трем сторонам (AB = CD, OA = OC, OB = OD), треугольники ╊OB и ╊COD равны.
4. Расстояния от центра до хорд:
• OE — это расстояние от центра O до хорды AB (так как E — середина AB, а отрезок, соединяющий центр с серединой хорды, перпендикулярен ей).
• OF — это расстояние от центра O до хорды CD (аналогично, F — середина CD).
• В равных треугольниках ╊OB и ╊COD равным сторонам AB и CD соответствуют равные высоты OE и OF.
5. Вывод: Следовательно, OE = OF.

Доказано.