№2 В равнобедренном треугольнике ABC (AB=BC) проведена медиана BM к основанию AC. Докажите, что BM — высота.

Так как BM — медиана, точка M — середина AC, поэтому AM = MC.

Рассмотрим треугольники ABM и CBM: AB = BC по условию, AM = MC, а BM — общая сторона. Следовательно, треугольники равны по трём сторонам.

Значит, углы AMB и BMC равны. Они смежные, поэтому их сумма равна 180°. Равные смежные углы составляют по 90°.

Следовательно, BM ⟂ AC, то есть BM — высота.