2. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС и углом при вершине В, равным 36°, проведена биссектриса АК. Докажите, что треугольники СКА и АКВ равнобедренные..

Решение:

В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC), угол при вершине B равен \( 36° \). Сумма углов треугольника равна \( 180° \). Углы при основании AC равны:

\( \angle BAC = \angle BCA = \frac{180° - 36°}{2} = \frac{144°}{2} = 72° \).

AK — биссектриса, значит, она делит угол BAC пополам:

\( \angle BAK = \angle KAC = \frac{72°}{2} = 36° \).

Рассмотрим треугольник AKB:

\( \angle AKB = 180° - \angle B - \angle BAK = 180° - 36° - 36° = 108° \).

Так как \( \angle B = \angle BAK = 36° \), треугольник AKB равнобедренный с основанием BK.

Рассмотрим треугольник CKA:

\( \angle C = 72° \), \( \angle KAC = 36° \).

\( \angle CKA = 180° - \angle C - \angle KAC = 180° - 72° - 36° = 72° \).

Так как \( \angle C = \angle CKA = 72° \), треугольник CKA равнобедренный с основанием CA.

Доказано.