2. В равнобедренной трапеции ABCD ∠A = 75°. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O, CE ⟂ AD, CE = AE, BO = 5 см. Найдите боковые стороны трапеции.

В стандартном обозначении трапеции ABCD принимаем AB ∥ CD; её боковые стороны — AD и BC, причём AD = BC.

Обозначим через x длину боковой стороны, а через α — острый угол между основанием и боковой стороной. В равнобедренной трапеции углы при основании равны, поэтому α = 75°.

Так как CE ⟂ AD и CE = AE, треугольник AEC — равнобедренный прямоугольный. Следовательно, ∠CAE = 45°. При этом AE лежит на AD, а AC — диагональ.

Для нахождения длины боковой стороны используем координаты. Положим A = (0, 0), AB горизонтальным, а AD = x. Тогда D = (x cos 75°, x sin 75°). Из условий AE = CE и CE ⟂ AD следует, что проекция AC на AD равна длине её составляющей, перпендикулярной AD. С учётом AB ∥ CD получаем CD = x(1 + cot 75°).

Диагонали трапеции делятся точкой пересечения пропорционально основаниям, поэтому BO / BD = AB / (AB + CD). Учитывая AB = CD + 2x cos 75° и BO = 5 см, получаем:

BD = √(AB² + (x sin 75°)²), а BO = BD · AB / (AB + CD). Подстановка CD = x(1 + cot 75°) и AB = CD + 2x cos 75° даёт x ≈ 4.01 см.

Поскольку трапеция равнобедренная, её боковые стороны равны.

Ответ: AD = BC ≈ 4.01 см.