2. В трапеции ABCD с основаниями AD = 16 и BC = 12 провели среднюю линию MN. Найдите расстояние между серединами отрезков AM и ND.

Обозначим через \(P\) середину отрезка \(AM\), а через \(Q\) — середину отрезка \(ND\). Поскольку \(M\) и \(N\) — середины боковых сторон, точки \(P,Q\) лежат на прямой, параллельной основаниям.

Расположим основание \(AD\) на горизонтальной прямой: пусть \(A=0\), \(D=16\). Тогда середина \(M\) отрезка \(AB\) имеет горизонтальную координату \(B/2\), а середина \(P\,\) отрезка \(AM\) — координату \(B/4\). Аналогично, поскольку \(N\) — середина \(CD\), горизонтальная координата середины \(Q\) отрезка \(ND\) равна \((C+3D)/4\). Вычитая координаты, получаем \(PQ=\frac{3}{4}(D-C)\), то есть \(\frac{3}{4}\,BC\) при принятом порядке вершин, если \(BC\) — верхнее основание. Однако условие задаёт только длины оснований, но не сообщает, какое из них является верхним в порядке вершин ABCD.

При стандартной записи трапеции ABCD с основаниями AD и BC величины получаются как \(PQ=\frac{|3AD-BC|}{4}\): подстановка даёт \(\frac{|3\cdot16-12|}{4}=9\).

Ответ: 9.