2. В треугольник АВС вписана окружность с центром О, OH — перпендикуляр к стороне ВС. Найдите ∠ВОН, если ∠ABC=62°.

Решение:

Дано:

• \[ \triangle ABC \]
• Окружность с центром О вписана в \[ \triangle ABC \].
• OH ⊥ BC.
• \[ \angle ABC = 62^{\circ} \]

Найти:

• \[ \angle BOH \]

Решение:

1. Рассмотрим треугольник ΔOBH.
2. OB — биссектриса угла \[ \angle ABC \] (так как центр вписанной окружности лежит на биссектрисах углов треугольника).
3. Следовательно, \[ \angle OBH = \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} \times 62^{\circ} = 31^{\circ} \]
4. OH ⊥ BC, значит, \[ \angle OHB = 90^{\circ} \] (по условию).
5. Сумма углов в треугольнике равна 180°. В \[ \triangle OBH \]:
6. \[ \angle BOH + \angle OBH + \angle OHB = 180^{\circ} \]
7. \[ \angle BOH + 31^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ} \]
8. \[ \angle BOH = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 31^{\circ} \]
9. \[ \angle BOH = 59^{\circ} \]

Ответ: 59°