3. К окружности с центром О проведена касательная МК (М — точка касания). Найдите радиус окружности, если ∠МОК = 60°, ОК = 18.

Решение:

Дано:

• Окружность с центром О.
• МК — касательная к окружности в точке М.
• \[ \angle MOK = 60^{\circ} \]
• \[ OK = 18 \]

Найти:

• Радиус окружности (OM).

Решение:

1. Радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной.
2. Следовательно, \[ \angle OMK = 90^{\circ} \]
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔOMK.
4. \[ OK \] — гипотенуза, \[ OM \] — катет (радиус окружности).
5. \[ \angle MOK = 60^{\circ} \]
6. По свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
7. Чтобы найти \[ \angle OKM \]:
8. \[ \angle OKM = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \]
9. Следовательно, катет \[ OM \] лежит против угла в 30°.
10. \[ OM = \frac{1}{2} OK \]
11. \[ OM = \frac{1}{2} \times 18 \]
12. \[ OM = 9 \]

Ответ: 9