2. В треугольнике ABC: AB = 6, BC = 8, ∠B = 90°. Найдите: а) |$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$|; б) |$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$|; в) |$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{CB}$|; г) |$\overrightarrow{BA}$-$\overrightarrow{BC}$|.

Question

Вопрос: $Фото задания: 2. В треугольнике ABC: AB = 6, BC = 8, ∠B = 90°. Найдите: а) |$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$|; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

Так как ∠B = 90°, векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BC}$ перпендикулярны. По теореме Пифагора:

\[AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10.\]

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$, поэтому $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}|=AC=10$.
$\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$ имеют длины 6 и 10, а угол между ними равен углу A. По координатам можно взять $\overrightarrow{AB}=(-6,0)$, $\overrightarrow{AC}=(-6,8)$. Тогда:
\[|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|=|(-12,8)|=\sqrt{144+64}=\sqrt{208}=4\sqrt{13}.\]
$\overrightarrow{AB}=(-6,0)$, $\overrightarrow{CB}=(0,-8)$. Поэтому:
\[|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}|=|(-6,-8)|=\sqrt{36+64}=10.\]
$\overrightarrow{BA}=(6,0)$, $\overrightarrow{BC}=(0,8)$. Поэтому:
\[|\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}|=|(6,-8)|=\sqrt{36+64}=10.\]

Ответ: а) 10; б) $4\sqrt{13}$; в) 10; г) 10.