2. В треугольнике ABC AO и CO — биссектрисы внешних углов CAD и ACE (см. рисунок). Найдите ∠B, если ∠AOC = 59°.

Решение:

Пусть данный треугольник — ABC. AO — биссектриса внешнего угла CAD, CO — биссектриса внешнего угла ACE.

1. Внешние углы:

Внешний угол при вершине A равен 180° - ∠BAC.

Внешний угол при вершине C равен 180° - ∠BCA.

2. Свойства биссектрис внешних углов:

AO — биссектриса ∠CAD, значит, ∠CAO = ∠OAD = (180° - ∠BAC) / 2 = 90° - ∠BAC / 2.

CO — биссектриса ∠ACE, значит, ∠ACO = ∠OCE = (180° - ∠BCA) / 2 = 90° - ∠BCA / 2.

3. Угол AOC:

Рассмотрим треугольник AOC. Сумма углов в треугольнике AOC равна 180°:

∠AOC + ∠CAO + ∠ACO = 180°

59° + (90° - ∠BAC / 2) + (90° - ∠BCA / 2) = 180°

59° + 180° - (∠BAC / 2 + ∠BCA / 2) = 180°

59° - (∠BAC + ∠BCA) / 2 = 0°

(∠BAC + ∠BCA) / 2 = 59°

∠BAC + ∠BCA = 118°

4. Угол B:

Сумма углов в треугольнике ABC равна 180°:

∠ABC + ∠BAC + ∠BCA = 180°

∠ABC + (∠BAC + ∠BCA) = 180°

∠ABC + 118° = 180°

∠ABC = 180° - 118°

∠ABC = 62°

5. Проверка:

Если ∠B = 62°, то ∠BAC + ∠BCA = 180° - 62° = 118°.

∠CAO = 90° - ∠BAC / 2

∠ACO = 90° - ∠BCA / 2

∠AOC = 180° - (∠CAO + ∠ACO) = 180° - (90° - ∠BAC / 2 + 90° - ∠BCA / 2) = 180° - (180° - (∠BAC + ∠BCA) / 2) = (∠BAC + ∠BCA) / 2.

∠AOC = 118° / 2 = 59°.

Это соответствует условию.

Ответ: ∠B = 62°.