3. В прямоугольном треугольнике один из острых углов равен 28°. Найдите угол между медианой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла к гипотенузе.

Решение:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где ∠C = 90°.

Пусть один из острых углов равен 28°, например, ∠A = 28°.

Тогда второй острый угол ∠B = 90° - 28° = 62°.

1. Биссектриса:

Проведем биссектрису CL из вершины прямого угла C к гипотенузе AB. Биссектриса делит угол C пополам, поэтому ∠ACL = ∠BCL = 90° / 2 = 45°.

2. Медиана:

Проведем медиану CM из вершины прямого угла C к гипотенузе AB. Медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. То есть CM = AM = BM.

Рассмотрим треугольник CMB. Так как CM = BM, то треугольник CMB — равнобедренный. Следовательно, ∠MCB = ∠MBC = ∠B = 62°.

3. Угол между медианой и биссектрисой:

Нам нужно найти угол между CL и CM. Этот угол равен |∠ACL - ∠ACM| или |∠BCL - ∠BCM|.

Мы знаем ∠BCL = 45° и ∠BCM = 62°.

Угол между медианой и биссектрисой равен |∠BCL - ∠BCM| = |45° - 62°| = |-17°| = 17°.

Альтернативный расчет:

∠ACL = 45°.

Рассмотрим треугольник CMA. Так как CM = AM, то треугольник CMA — равнобедренный. Следовательно, ∠MCA = ∠MAC = ∠A = 28°.

Угол между медианой и биссектрисой равен |∠ACL - ∠ACM| = |45° - 28°| = 17°.

4. Общая формула:

Угол между медианой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла, равен полуразности острых углов треугольника: |∠A - ∠B| / 2.

В нашем случае: |28° - 62°| / 2 = |-34°| / 2 = 34° / 2 = 17°.

Ответ: Угол между медианой и биссектрисой равен 17°.