2. В треугольнике ABC известно, что AC = 5√2 см, ∠A = 45°, ∠B = 30°. Найдите стороны треугольника и радиус описанной около него окружности.

Сначала найдём третий угол: \(\angle C=180^\circ-45^\circ-30^\circ=105^\circ\).

По теореме синусов \(\frac{AC}{\sin B}=2R\), поскольку сторона \(AC\) лежит напротив угла \(B\). Тогда \(2R=\frac{5\sqrt{2}}{\sin30^\circ}=10\sqrt{2}\), откуда \(R=5\sqrt{2}\) см.

Найдём сторону \(BC\), лежащую напротив угла \(A\): \(BC=2R\sin45^\circ=10\) см.

Найдём сторону \(AB\), лежащую напротив угла \(C\): \(AB=2R\sin105^\circ=10\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=5(\sqrt{3}+1)\) см.

Ответ: \(AC=5\sqrt{2}\) см, \(BC=10\) см, \(AB=5(\sqrt{3}+1)\) см; \(R=5\sqrt{2}\) см.