2. В треугольнике ABC проведена медиана AM. Известно, что AB = 5, AC = 7, BC = 8. Найдите длину медианы AM.

Решение:

Для нахождения длины медианы используем теорему Аполлония:

\( AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2) \)

Так как AM — медиана, то M — середина BC, значит \( BM = MC = \frac{BC}{2} = \frac{8}{2} = 4 \).

Подставим известные значения в формулу:

\( 5^2 + 7^2 = 2(AM^2 + 4^2) \)

\( 25 + 49 = 2(AM^2 + 16) \)

\( 74 = 2AM^2 + 32 \)

\( 74 - 32 = 2AM^2 \)

\( 42 = 2AM^2 \)

\( AM^2 = 21 \)

\( AM = \sqrt{21} \)

Ответ: \(\sqrt{21}\).