5. В треугольнике ABC проведена медиана CM. Известно, что AC = 7, BC = 9, AB = 10. Найдите длину медианы CM.

Решение:

Для нахождения длины медианы используем теорему Аполлония:

\( AC^2 + BC^2 = 2(CM^2 + AM^2) \)

Так как CM — медиана, то M — середина AB, значит \( AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{10}{2} = 5 \).

Подставим известные значения в формулу:

\( 7^2 + 9^2 = 2(CM^2 + 5^2) \)

\( 49 + 81 = 2(CM^2 + 25) \)

\( 130 = 2CM^2 + 50 \)

\( 130 - 50 = 2CM^2 \)

\( 80 = 2CM^2 \)

\( CM^2 = 40 \)

\( CM = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \)

Ответ: \(2\sqrt{10}\).