2. В треугольнике АВС \( \angle C=90° \). Внешний угол при вершине \( \angle B=140° \), \( AC=10 \) см. Найдите длину гипотенузы треугольника.

Решение:

Внешний угол при вершине B равен 140°, значит, внутренний угол \( \angle B \) равен \( 180° - 140° = 40° \).

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, поэтому \( \angle A = 90° - \angle B = 90° - 40° = 50° \).

Для нахождения гипотенузы AB используем синус угла A:

\( \sin A = \frac{BC}{AB} \) — это неверно, так как AC — противолежащий катет.

Используем синус угла B:

\( \sin B = \frac{AC}{AB} \).

\( \sin 40° = \frac{10}{AB} \).

\( AB = \frac{10}{\sin 40°} \).

Используем косинус угла A:

\( \cos A = \frac{AC}{AB} \).

\( \cos 50° = \frac{10}{AB} \).

\( AB = \frac{10}{\cos 50°} \).

Значения \( \sin 40° \) и \( \cos 50° \) примерно равны 0.6428.

\( AB \approx \frac{10}{0.6428} \approx 15.56 \) см.

Ответ: \( \frac{10}{\sin 40°} \) (или \( \frac{10}{\cos 50°} \)), примерно 15.56 см.