2. В треугольнике АВС ∠C= 90°, СС₁ - высота, СС₁ = 5 см, ВС = 10 см. Найдите ∠САВ.

Решение:

В прямоугольном треугольнике \( \triangle ABC \) проведена высота \( CC_1 \). Нам дано, что \( CC_1 = 5 \) см и \( BC = 10 \) см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle CC_1B \). В этом треугольнике гипотенузой является \( BC \), а катетом — \( CC_1 \).

Мы можем найти синус угла \( \angle B \) в этом треугольнике:

\( \sin(\angle B) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{CC_1}{BC} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \).

Так как \( \sin(\angle B) = \frac{1}{2} \), то \( \angle B = 30^{\circ} \).

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle ABC \).

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна \( 90^{\circ} \).

Значит, \( \angle CAB + \angle ABC = 90^{\circ} \).

Подставим найденное значение \( \angle ABC = 30^{\circ} \):

\( \angle CAB + 30^{\circ} = 90^{\circ} \).

\( \angle CAB = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).

Ответ: \( \angle CAB = 60^{\circ} \).