2 вариант. 3. Прямоугольные треугольники ABC и ABD имеют общую гипотенузу AB. Известно, что AD = BC. Докажите равенство треугольников ACO и BDO.

Сначала рассмотрим прямоугольные треугольники ABC и BAD. Их гипотенузы AB и BA равны, а катеты BC и AD равны по условию. Значит, эти треугольники равны по гипотенузе и катету. Отсюда ∠ABC = ∠BAD.

Поскольку O лежит на BC и AD, ∠ABO = ∠ABC, а ∠BAO = ∠BAD. Поэтому ∠ABO = ∠BAO, и в треугольнике ABO AO = BO.

Треугольники ACO и BDO прямоугольные: ∠ACO = ∠BDO = 90°. Углы AOC и BOD равны как вертикальные, а гипотенузы AO и BO равны. Следовательно, треугольники ACO и BDO равны по гипотенузе и острому углу.