2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=x, прямыми х=2, х=5 и осью абсцисс.

Решение:

1. Функция \( y = x \) — это прямая, проходящая через начало координат. Ось абсцисс — это \( y = 0 \). Прямые \( x = 2 \) и \( x = 5 \) — вертикальные линии.

2. Фигура, ограниченная этими линиями, является трапецией. Для вычисления площади этой фигуры можно использовать интеграл или формулу площади трапеции.

Метод 1: Интеграл

Площадь \( S \) вычисляется как определённый интеграл от функции \( y = x \) в пределах от \( x = 2 \) до \( x = 5 \):

\[ S = \int_{2}^{5} x dx \]

\[ S = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{2}^{5} \]

\[ S = \frac{5^2}{2} - \frac{2^2}{2} = \frac{25}{2} - \frac{4}{2} = \frac{21}{2} = 10.5 \]

Метод 2: Формула площади трапеции

Трапеция имеет основания \( b_1 \) и \( b_2 \) и высоту \( h \).

При \( x = 2 \), \( y = 2 \). Это длина одного основания: \( b_1 = 2 \).

При \( x = 5 \), \( y = 5 \). Это длина другого основания: \( b_2 = 5 \).

Высота трапеции — это расстояние между прямыми \( x = 2 \) и \( x = 5 \), то есть \( h = 5 - 2 = 3 \).

Формула площади трапеции: \( S = \frac{b_1 + b_2}{2} \cdot h \).

\[ S = \frac{2 + 5}{2} \cdot 3 = \frac{7}{2} \cdot 3 = \frac{21}{2} = 10.5 \]

Ответ: Площадь фигуры равна 10.5 квадратных единиц.