2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: y = x² - 2x + 2 y = 2 + 6x - x²

Решение:

1. Найдем точки пересечения парабол, приравняв их уравнения:
   \( x^2 - 2x + 2 = 2 + 6x - x^2 \)
   \( 2x^2 - 8x = 0 \)
   \( 2x(x - 4) = 0 \)
   Точки пересечения: \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 4 \).
2. Определим, какая из функций является верхней на интервале \( [0, 4] \). Возьмем \( x = 2 \):
   \( y_1 = 2^2 - 2(2) + 2 = 4 - 4 + 2 = 2 \)
   \( y_2 = 2 + 6(2) - 2^2 = 2 + 12 - 4 = 10 \)
   Значит, \( y = 2 + 6x - x^2 \) — верхняя функция.
3. Вычислим площадь по формуле:
   \( S = \int_{0}^{4} ((2 + 6x - x^2) - (x^2 - 2x + 2)) dx \)
   \( S = \int_{0}^{4} (-2x^2 + 8x) dx \)
4. Найдем первообразную:
   \( S = \left[ -\frac{2x^3}{3} + \frac{8x^2}{2} \right]_{0}^{4} = \left[ -\frac{2x^3}{3} + 4x^2 \right]_{0}^{4} \)
5. Подставим пределы интегрирования:
   \( S = (-\frac{2(4)^3}{3} + 4(4)^2) - (-\frac{2(0)^3}{3} + 4(0)^2) \)
   \( S = (-\frac{2 \cdot 64}{3} + 4 \cdot 16) - 0 \)
   \( S = -\frac{128}{3} + 64 = \frac{-128 + 192}{3} = \frac{64}{3} \)

Ответ: \( S = \frac{64}{3} \).