4. Решите неравенство: (0,5)^x³ ≤ 4^(-x)

Решение:

1. Приведем обе части неравенства к одному основанию. Удобно использовать основание 2.
   \( 0.5 = \frac{1}{2} = 2^{-1} \)
   \( 4 = 2^2 \)
2. Подставим в неравенство:
   \( (2^{-1})^{x^3} \leq (2^2)^{-x} \)
   \( 2^{-x^3} \leq 2^{-2x} \)
3. Так как основание степени \( 2 > 1 \), при снятии основания знаки неравенства сохраняются:
   \( -x^3 \leq -2x \)
4. Перенесем все члены в одну сторону:
   \( -x^3 + 2x \leq 0 \)
5. Умножим на -1 и сменим знак неравенства:
   \( x^3 - 2x \geq 0 \)
6. Вынесем общий множитель \( x \):
   \( x(x^2 - 2) \geq 0 \)
7. Разложим квадратный трехчлен на множители:
   \( x(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) \geq 0 \)
8. Найдем корни: \( x_1 = 0 \), \( x_2 = \sqrt{2} \), \( x_3 = -\sqrt{2} \).
9. Нанесем корни на числовую прямую и определим знаки интервалов методом пробной точки:
   - Интервал \( (-\infty, -\sqrt{2}) \): Возьмем \( x = -2 \). \( (-2)((-2)^2 - 2) = -2(4-2) = -2(2) = -4 < 0 \).
   - Интервал \( (- \sqrt{2}, 0) \): Возьмем \( x = -1 \). \( (-1)((-1)^2 - 2) = -1(1-2) = -1(-1) = 1 > 0 \).
   - Интервал \( (0, \sqrt{2}) \): Возьмем \( x = 1 \). \( (1)(1^2 - 2) = 1(1-2) = 1(-1) = -1 < 0 \).
   - Интервал \( (\sqrt{2}, \infty) \): Возьмем \( x = 2 \). \( (2)(2^2 - 2) = 2(4-2) = 2(2) = 4 > 0 \).
10. Нам нужно, чтобы выражение было \( \geq 0 \), поэтому выбираем интервалы, где знак '+'.
    \( x \in [-\sqrt{2}, 0] \cup [\sqrt{2}, \infty) \)

Ответ: \( x \in [-\sqrt{2}; 0] \cup [\sqrt{2}; \infty) \).