Ответ:

Две запятые нужны в предложениях 2, 4 и 5.

  1. «Звезда зажглась и дрожит в огнистом море заката». Запятая не ставится: однородные сказуемые «зажглась и дрожит» соединены одиночным союзом и.
  2. Ты помнишь, Алёша, дороги Смоленщины? «Алёша» — обращение, оно выделяется запятыми с двух сторон.
  3. «Самая большая ценность народа — его язык». Требуется тире между подлежащим и сказуемым, а не две запятые.
  4. Сыплющиеся листья, загнивающие травы, тихое гудение пчёл, предзимнее солнце — всё дышит жизнью. Запятые разделяют однородные подлежащие; перед обобщающим словом «всё» ставится тире.
  5. Неярок ты, подснежник, нет броскости в тебе. «Подснежник» — обращение, выделенное запятыми. Между частями бессоюзного сложного предложения запятая не нужна: вторая часть поясняет причину первой.
  6. «Подснежник распускается в самом начале весны и цветёт недолго». Две запятые не нужны: однородные сказуемые соединены одиночным союзом и.
  7. «Весной родился в тайге подснежник, раскрыл по-детски округлый глаз». Между частями сложного предложения нужна одна запятая.
  8. «Стали птицы песни петь и расцвёл подснежник». Между частями сложносочинённого предложения нужна одна запятая.
  9. «Промчись по дворам, весенний дождик, смой остатки снега и льда!» Обращение «весенний дождик» выделяется двумя запятыми, но глаголы «промчись» и «смой» образуют побудительную конструкцию.