№2 Выполните действия: a) 9 x⁶ / y³ : 6 x⁴ / y⁵ = б) (3a - 9) / (a + 2) · (a² - 4) / (a² - 9) =

Решение:

а) Чтобы выполнить деление дробей, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй. То есть, поменять местами числитель и знаменатель второй дроби и заменить знак деления на умножение.

\[ \frac{9x^6}{y^3} : \frac{6x^4}{y^5} = \frac{9x^6}{y^3} \cdot \frac{y^5}{6x^4} \]

Теперь умножим дроби, перемножив числители и знаменатели:

\[ \frac{9x^6 \cdot y^5}{y^3 \cdot 6x^4} \]

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:

Степень \(x\): \(x^6 / x^4 = x^{6-4} = x^2\).

Степень \(y\): \(y^5 / y^3 = y^{5-3} = y^2\).

Числа: \(9/6 = 3/2\).

Получаем:

\[ \frac{3 x^2 y^2}{2} \]

б) Здесь нам нужно привести алгебраические дроби к общему знаменателю и выполнить умножение. Сначала разложим числители и знаменатели на множители, где это возможно.

Первая дробь: \(3a - 9 = 3(a - 3)\).

Четвертая дробь (числитель): \(a^2 - 4\) — это разность квадратов, \(a^2 - 4 = (a - 2)(a + 2)\).

Четвертая дробь (знаменатель): \(a^2 - 9\) — это разность квадратов, \(a^2 - 9 = (a - 3)(a + 3)\).

Теперь подставим разложенные выражения в исходное:

\[ \frac{3(a - 3)}{a + 2} \cdot \frac{(a - 2)(a + 2)}{(a - 3)(a + 3)} \]

Теперь умножим дроби и сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:

Сокращаем \((a - 3)\) и \((a + 2)\):

\[ \frac{3 \cancel{(a - 3)}}{\cancel{a + 2}} \cdot \frac{(a - 2)\cancel{(a + 2)}}{\cancel{(a - 3)}(a + 3)} = \frac{3(a - 2)}{a + 3} \]

Ответ: а) {3x^2 y^2}{2}, б) {3(a - 2)}{a + 3}