2. Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины С, делит основание AD на отрезки длиной 17 и 4. Найдите длину основания BC.

Задание 2. Равнобедренная трапеция

Дано:

• Трапеция ABCD равнобедренная.
• Высота CH, проведённая из вершины C к основанию AD.
• Основание AD разделено на отрезки: AH = 4, HD = 17.

Найти: длину основания BC.

Решение:

1. В равнобедренной трапеции высота, проведённая к основанию, делит его на два отрезка. Меньший отрезок равен полуразности оснований, а больший — полусумме оснований.
2. Пусть BC — меньшее основание, а AD — большее.
3. Тогда AH = 4 — это полуразность оснований: \[ AH = (AD - BC) / 2
4. HD = 17 — это отрезок, который является частью большего основания.
5. Так как трапеция равнобедренная, отрезок HD равен AH + BC, или, если провести высоту из B, то отрезок от этой высоты до D будет равен AH.
6. В равнобедренной трапеции отрезки от вершин меньшего основания до концов большего основания, если провести высоты, равны: AH = DK (где K — проекция B на AD).
7. В нашем случае, высота из C делит AD на отрезки AH и HD.
8. Если AH = 4, то это отрезок от вершины A до основания перпендикуляра, опущенного из B (или C).
9. Тогда AD = AH + BC + DK.
10. Поскольку трапеция равнобедренная, AH = DK.
11. Значит, AD = 2 * AH + BC.
12. Нам дано, что высота из C делит AD на отрезки 4 и 17. Это означает, что если мы проведем высоту из B, то отрезок от A до этой высоты будет равен 4.
13. Тогда BC = 17.
14. Проверим: AD = 4 + 17 + 4 = 25.
15. Полусумма оснований: (17 + 25) / 2 = 42 / 2 = 21.
16. Полуразность оснований: (25 - 17) / 2 = 8 / 2 = 4.
17. Это соответствует условию, что высота делит основание на отрезки 4 и 17 (где 4 — это меньший отрезок, а 17 — это меньшее основание + меньший отрезок).
18. Следовательно, основание BC равно 17.

Ответ: 17