20.5 Окружность высекает на сторонах угла равные хорды. Докажите, что её центр лежит на биссектрисе этого угла (рис. 20.51).

Краткое пояснение:

Доказательство:

1. Пусть окружность с центром O пересекает стороны угла BAC в точках B и C соответственно. По условию, хорды AB и AC равны: AB = AC.
2. Рассмотрим треугольник ABC. Так как AB = AC, то треугольник ABC является равнобедренным.
3. В равнобедренном треугольнике ABC, медиана, проведенная из вершины A к основанию BC, является также биссектрисой и высотой.
4. Если центр окружности O лежит на биссектрисе угла BAC, то он равноудален от сторон AB и AC.
5. Рассмотрим треугольники OAB и OAC. OA - общая сторона. OB = OC (радиусы окружности). AB = AC (по условию).
6. Следовательно, треугольники OAB и OAC равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).
7. Из равенства треугольников следует, что угол OAB равен углу OAC. Это означает, что прямая OA является биссектрисой угла BAC.

Таким образом, центр окружности O лежит на биссектрисе угла BAC.