20.7 Диаметр окружности делит её хорду АВ пополам. Докажите, что хорда АВ либо перпендикулярна этому диаметру, либо сама является диаметром данной окружности (рис. 20.53).

Краткое пояснение:

Доказательство:

1. Пусть AB - хорда окружности, а CD - диаметр, делящий хорду AB пополам в точке M.
2. Рассмотрим два случая:
3. Случай 1: Хорда AB не является диаметром.
• Если диаметр CD делит хорду AB пополам (AM = MB), и AB не является диаметром, то из свойства диаметров и хорд следует, что диаметр CD перпендикулярен хорде AB. Это происходит потому, что только перпендикулярный диаметр делит хорду (не являющуюся диаметром) пополам.
4. Случай 2: Хорда AB является диаметром.
• Если хорда AB сама является диаметром, то она проходит через центр окружности. В этом случае диаметр CD (любой другой диаметр) может пересекать хорду AB в любой точке (включая центр), и условие того, что диаметр делит хорду пополам, будет выполняться, если точка пересечения - центр. Если хорда AB - диаметр, то она уже проходит через центр, и любое ее деление пополам (точкой M) означает, что M - центр.
5. Вывод:
• Таким образом, если диаметр делит хорду пополам, то либо хорда перпендикулярна диаметру, либо хорда сама является диаметром.