20. Диагональ равнобедренной трапеции образует с её основанием угол 45°. Найдите острый угол трапеции, если её основания равны 2 и 5.

Пусть основания равнобедренной трапеции равны 5 и 2. Разность оснований делится поровну между двумя прямоугольными треугольниками у боковых сторон, поэтому горизонтальная проекция каждой боковой стороны равна \((5 - 2)/2 = 1.5\).

Диагональ образует с основанием угол 45°, значит её вертикальная составляющая равна горизонтальной. Эта вертикальная составляющая совпадает с высотой трапеции, следовательно, высота равна 2.5, если диагональ идёт от конца короткого основания к противоположному концу длинного основания: горизонтальное расстояние при таком расположении равно \((5 + 2)/2 = 3.5\), и тогда высота также равна 3.5.

В изображённой схеме диагональ проведена от нижнего конца боковой стороны к противоположному верхнему концу. Для этого случая её горизонтальная проекция равна полусумме оснований: \((5 + 2)/2 = 3.5\), поэтому высота равна 3.5. Угол наклона боковой стороны к основанию удовлетворяет \(\tan \alpha = 3.5/1.5 = 7/3\).

Однако при данных основаниях и угле диагонали 45° трапеция не может быть равнобедренной с указанной конфигурацией: вычисленная высота даёт боковой угол около 66.8°, а диагональ и боковая сторона должны соответствовать схеме; возможное направление диагонали определяет разные условия. На рисунке неразборчиво, какое именно основание имеет длину 2 или 5, а надписи длин отсутствуют у сторон.

Условие содержит основания 2 и 5, но для однозначного определения угла необходимо знать, к какому основанию относится угол диагонали (и направление диагонали). При стандартной трактовке диагональ соединяет концы разных оснований, её проекция равна полусумме оснований, а искомый острый угол вычисляется как \(\arctan(7/3)\), примерно \(66.8°\).

Ответ: при стандартной трактовке около 66.8°.