20 Летом катер идёт по течению реки в 1 2/3 раза быстрее, чем против течения. Весной скорость течения становится на 1 км/ч больше. Поэтому весной этот же катер идёт по течению в 2 раза быстрее, чем против течения. Найдите скорость течения летом. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Обозначим:

• \( v_k \) — собственная скорость катера (км/ч).
• \( v_t \) — скорость течения реки летом (км/ч).

Скорость катера по течению летом: \( v_k + v_t \).

Скорость катера против течения летом: \( v_k - v_t \).

По условию, летом катер идёт по течению в \( 1 \frac{2}{3} = \frac{5}{3} \) раза быстрее, чем против течения:

\( v_k + v_t = \frac{5}{3}(v_k - v_t) \)

\( 3(v_k + v_t) = 5(v_k - v_t) \)

\( 3v_k + 3v_t = 5v_k - 5v_t \)

\( 8v_t = 2v_k \)

\( v_k = 4v_t \) (1)

Весной скорость течения на 1 км/ч больше, чем летом. Обозначим скорость течения весной \( v_{t_в} \).

\( v_{t_в} = v_t + 1 \).

Скорость катера по течению весной: \( v_k + (v_t + 1) \).

Скорость катера против течения весной: \( v_k - (v_t + 1) \).

Весной катер идёт по течению в 2 раза быстрее, чем против течения:

\( v_k + v_t + 1 = 2(v_k - v_t - 1) \)

\( v_k + v_t + 1 = 2v_k - 2v_t - 2 \)

\( 3v_t + 3 = v_k \) (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. \( v_k = 4v_t \)
2. \( v_k = 3v_t + 3 \)

Приравняем правые части:

\( 4v_t = 3v_t + 3 \)

\( v_t = 3 \) км/ч.

Это и есть скорость течения летом.

Чтобы найти скорость катера, подставим \( v_t \) в любое из уравнений:

\( v_k = 4 \times 3 = 12 \) км/ч.

Проверим условия:

Летом:

Скорость по течению: \( 12 + 3 = 15 \) км/ч.

Скорость против течения: \( 12 - 3 = 9 \) км/ч.

\( 15 / 9 = 5/3 = 1 \frac{2}{3} \). Условие выполняется.

Весной:

Скорость течения: \( 3 + 1 = 4 \) км/ч.

Скорость по течению: \( 12 + 4 = 16 \) км/ч.

Скорость против течения: \( 12 - 4 = 8 \) км/ч.

\( 16 / 8 = 2 \). Условие выполняется.

Ответ: 3