20) Образующая конуса равна 30дм и составляет с плоскостью основания угол 30°. Найдите объем конуса, считая π = 3. (3балла)

Решение:

Пусть \( l \) — образующая конуса, \( R \) — радиус основания, \( H \) — высота конуса.

По условию:

\( l = 30 \) дм

Угол между образующей и плоскостью основания равен \( 30^{\circ} \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный образующей, высотой и радиусом основания. В этом треугольнике образующая \( l \) — гипотенуза, радиус \( R \) — катет, прилежащий к углу \( 30^{\circ} \), а высота \( H \) — катет, противолежащий этому углу.

Найдем радиус основания \( R \):

\[ R = l \cos(30^{\circ}) \]

\[ R = 30 \text{ дм} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3} \text{ дм} \]

Найдем высоту конуса \( H \):

\[ H = l \sin(30^{\circ}) \]

\[ H = 30 \text{ дм} \cdot \frac{1}{2} = 15 \text{ дм} \]

Объем конуса вычисляется по формуле \( V = \frac{1}{3} \pi R^2 H \). Используем \( \pi = 3 \).

\[ V = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot (15\sqrt{3})^2 \cdot 15 \]

\[ V = 1 \cdot (15^2 \cdot (\sqrt{3})^2) \cdot 15 \]

\[ V = 225 \cdot 3 \cdot 15 \]

\[ V = 675 \cdot 15 \]

\[ V = 10125 \text{ дм}^3 \]

Ответ: 10125 дм³.