20. Решите неравенство (x²-4x)²+5(x-2)² > 20

Решение:

1. Раскроем скобки и приведём уравнение к удобному виду:
• \( (x^2-4x)^2 = (x(x-4))^2 = x^2(x-4)^2 \)
• \( (x-2)^2 = x^2 - 4x + 4 \)
• Подставим в неравенство: \( x^2(x-4)^2 + 5(x^2-4x+4) > 20 \)
• Сделаем замену переменной. Пусть \( y = x^2 - 4x \). Тогда неравенство примет вид: \( y^2 + 5(y+4) > 20 \)
• Раскроем скобки: \( y^2 + 5y + 20 > 20 \)
• Упростим: \( y^2 + 5y > 0 \)
• Вынесем \( y \) за скобки: \( y(y+5) > 0 \)
• Решим неравенство методом интервалов: \( y < -5 \) или \( y > 0 \).
• Подставим обратно \( y = x^2 - 4x \):
• \( x^2 - 4x < -5 \) → \( x^2 - 4x + 5 < 0 \). Дискриминант \( D = (-4)^2 - 4 · 1 · 5 = 16 - 20 = -4 < 0 \). Так как ветви параболы направлены вверх, \( x^2 - 4x + 5 \) всегда больше нуля. Решений нет.
• \( x^2 - 4x > 0 \) → \( x(x-4) > 0 \). Корни: \( x = 0 \) и \( x = 4 \). Решением являются \( x < 0 \) или \( x > 4 \).

Ответ: \( x < 0 \) или \( x > 4 \).