22. Постройте график функции y = $\frac{1-2x}{2x^2-x}$. Определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Question

22. Постройте график функции y = $\frac{1-2x}{2x^2-x}$. Определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

$Фото задания: 22. Постройте график функции y = $\frac{1-2x}{2x^2-x}$. Определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком…$ Фото задания

Accepted Answer

Решение:

Преобразуем выражение функции: $ y = \frac{1-2x}{2x^2-x} = \frac{-(2x-1)}{x(2x-1)} $.
При $ x \neq 0.5 $ и $ x \neq 0 $, функция упрощается до $ y = -\frac{1}{x} $.
График функции $ y = -\frac{1}{x} $ — это гипербола.
Найдем точки, которые не принадлежат графику: $ x=0 $ (вертикальная асимптота) и $ x=0.5 $.
При $ x=0.5 $, $ y = -\frac{1}{0.5} = -2 $. Точка $ (0.5, -2) $ является 'выколотой'.
Теперь рассмотрим прямую $ y = kx $. Она проходит через начало координат $ (0, 0) $.
Чтобы прямая $ y = kx $ имела с графиком $ y = -\frac{1}{x} $ ровно одну общую точку, нужно учесть два случая:

Случай 1: Прямая проходит через 'выколотую' точку $ (0.5, -2) $.
Подставим координаты точки в уравнение прямой: $ -2 = k · 0.5 $.
Отсюда $ k = \frac{-2}{0.5} = -4 $.
В этом случае прямая $ y = -4x $ пересекает гиперболу $ y = -\frac{1}{x} $ в двух точках: $ (0.5, -2) $ и $ (-0.5, 2) $. Так как $ (0.5, -2) $ 'выколотая', остается одна точка пересечения $ (-0.5, 2) $.
Случай 2: Прямая является касательной к гиперболе.
Приравниваем уравнения: $ kx = -\frac{1}{x} $
$ kx^2 = -1 $
$ kx^2 + 1 = 0 $
Для того чтобы прямая была касательной, это квадратное уравнение должно иметь ровно один корень. Это возможно, если $ k=0 $.
Если $ k=0 $, то $ y = 0 $. Это ось абсцисс. Она пересекает гиперболу $ y = -\frac{1}{x} $ в двух точках $ x = ± 0.5 $, но одна из них $x=0.5$ - выколота, значит остается одна точка пересечения $-0.5, 0$.
Однако, рассматриваемая нами функция $ y = -\frac{1}{x} $ имеет две ветви, и прямая $ y = kx $ может пересекать каждую из них.
Вернёмся к уравнению $ kx^2 + 1 = 0 $. Для единственного решения в действительных числах, $ k $ должно быть отрицательным, чтобы $ x^2 = -1/k $.
$ x = ± \sqrt{-\frac{1}{k}} $.
Тогда, чтобы было ровно одна общая точка, одна из этих точек должна совпасть с 'выколотой' точкой $ (0.5, -2) $.
Подставим $ x = 0.5 $ в $ y = kx $: $ -2 = k · 0.5 $, что даёт $ k = -4 $.
Подставим $ x = -0.5 $ в $ y = kx $: $ y = k · (-0.5) $.
Также, прямая $ y=kx $ проходит через $ (0,0) $.
Уравнение $ kx = -1/x $ имеет вид $ kx^2 = -1 $.
$ x^2 = -1/k $.
Чтобы было одно решение, $ k $ должно быть отрицательным. $ x = ± \sqrt{-1/k} $.
Если $ k = -4 $, то $ x^2 = -1/(-4) = 1/4 $, $ x = ± 0.5 $.
$ x = 0.5 $ соответствует 'выколотой' точке $ (0.5, -2) $.
$ x = -0.5 $ соответствует точке $ (-0.5, 2) $.
Таким образом, при $ k = -4 $ прямая пересекает график в одной точке $ (-0.5, 2) $.
Рассмотрим случай, когда прямая проходит через начало координат $ (0,0) $ и касается гиперболы. Для этого нужно, чтобы дискриминант уравнения $ kx^2 + 1 = 0 $ был равен нулю. Но это квадратное уравнение имеет вид $ Ax^2+Bx+C=0 $ где $ B=0 $ и $ C=1 $. Дискриминант $ D = B^2 - 4AC = 0^2 - 4k(1) = -4k $. Чтобы $ D=0 $, нужно $ k=0 $.
Если $ k=0 $, то $ y=0 $. Эта прямая пересекает $ y = -1/x $ в точке $ x = ± 0.5 $. Поскольку $ x=0.5 $ - выколотая точка, остается одна точка $ (-0.5, 0) $.

Ответ: k = -4 или k = 0.

22. Постройте график функции y = \(\frac{1-2x}{2x^2-x}\). Определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ:

Решение: