20. Решите систему уравнений $$\begin{cases} (x-3)(y-9)=0 \\ \frac{y-5}{x+y-8}=2 \end{cases}$$

Решение:

Данная система уравнений:

$$\begin{cases} (x-3)(y-9)=0 \\ \frac{y-5}{x+y-8}=2 \end{cases}$$

Из первого уравнения \( (x-3)(y-9)=0 \) следует, что либо \( x-3=0 \), либо \( y-9=0 \). Рассмотрим два случая.

Случай 1: \( x-3=0 \), то есть \( x=3 \).

1. Подставим \( x=3 \) во второе уравнение: \( \frac{y-5}{3+y-8}=2 \).
2. Упростим знаменатель: \( \frac{y-5}{y-5}=2 \).
3. Это уравнение имеет решение, если \( y-5 \neq 0 \), то есть \( y \neq 5 \).
4. Если \( y \neq 5 \), то \( \frac{y-5}{y-5}=1 \), следовательно \( 1=2 \), что неверно.
5. Таким образом, в этом случае решений нет.

Случай 2: \( y-9=0 \), то есть \( y=9 \).

1. Подставим \( y=9 \) во второе уравнение: \( \frac{9-5}{x+9-8}=2 \).
2. Упростим числитель и знаменатель: \( \frac{4}{x+1}=2 \).
3. Найдем \( x \), умножив обе части на \( x+1 \) (при условии, что \( x+1 \neq 0 \), то есть \( x \neq -1 \)): \( 4 = 2(x+1) \).
4. Раскроем скобки: \( 4 = 2x+2 \).
5. Вычтем 2 из обеих частей: \( 2 = 2x \).
6. Разделим на 2: \( x=1 \).
7. Проверим условие \( x \neq -1 \). \( 1 \neq -1 \), условие выполнено.
8. Следовательно, \( x=1, y=9 \) является решением системы.

Ответ: \( (1; 9) \)