20. Решите систему уравнений { x² + y² = 20, xy=8. }

Решение:

1. Из второго уравнения выразим \( y \): \( y = \frac{8}{x} \).
2. Подставим это выражение в первое уравнение: \( x^2 + (\frac{8}{x})^2 = 20 \).
3. Упростим: \( x^2 + \frac{64}{x^2} = 20 \).
4. Умножим обе части на \( x^2 \) (при условии \( x \neq 0 \)): \( x^4 + 64 = 20x^2 \).
5. Перенесём всё в одну сторону: \( x^4 - 20x^2 + 64 = 0 \).
6. Сделаем замену переменной: пусть \( t = x^2 \). Тогда уравнение примет вид: \( t^2 - 20t + 64 = 0 \).
7. Решим квадратное уравнение относительно \( t \) через дискриминант: \( D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 64 = 400 - 256 = 144 \). \( \sqrt{D} = 12 \).
8. Найдем значения \( t \): \( t_1 = \frac{20 + 12}{2} = 16 \) и \( t_2 = \frac{20 - 12}{2} = 4 \).
9. Теперь вернемся к замене \( x^2 = t \):
• Если \( t_1 = 16 \), то \( x^2 = 16 \), откуда \( x = \pm 4 \).
• Если \( t_2 = 4 \), то \( x^2 = 4 \), откуда \( x = \pm 2 \).
10. Найдем соответствующие значения \( y \) для каждого \( x \), используя \( y = \frac{8}{x} \):
• Если \( x = 4 \), то \( y = \frac{8}{4} = 2 \).
• Если \( x = -4 \), то \( y = \frac{8}{-4} = -2 \).
• Если \( x = 2 \), то \( y = \frac{8}{2} = 4 \).
• Если \( x = -2 \), то \( y = \frac{8}{-2} = -4 \).

Ответ: (4; 2), (-4; -2), (2; 4), (-2; -4).