20. Решите уравнение: sin² x - 10 sin x cos x + 25 cos² x = 0

Решение:

Данное уравнение является однородным тригонометрическим уравнением второй степени.

1. Заметим, что \( \cos x \neq 0 \), так как если \( \cos x = 0 \), то \( \sin x = \pm 1 \), и уравнение примет вид \( 1 - 0 + 0 = 0 \), что неверно.
2. Разделим обе части уравнения на \( \cos^2 x \):
• \( \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{10 \sin x \cos x}{\cos^2 x} + \frac{25 \cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 \)
• \( \mathrm{tg}^2 x - 10 \mathrm{tg} x + 25 = 0 \)
3. Сделаем замену переменной: \( t = \mathrm{tg} x \). Получим квадратное уравнение: \( t^2 - 10t + 25 = 0 \).
4. Решим квадратное уравнение. Это полный квадрат: \( (t - 5)^2 = 0 \).
5. Отсюда \( t - 5 = 0 \), то есть \( t = 5 \).
6. Сделаем обратную замену: \( \mathrm{tg} x = 5 \).
7. Найдём \( x \) по формуле: \( x = \mathrm{arctg} 5 + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \mathrm{arctg} 5 + \pi n, n \in \mathbb{Z} \).