21. Плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды равен 90°. Найдите отношение площади боковой поверхности пирамиды к площади ее основания.

Решение:

Пусть данная пирамида — правильная треугольная пирамида \( SABC \), где \( ABC \) — основание, а \( S \) — вершина. Плоский угол при вершине равен 90°.

В правильной треугольной пирамиде боковые грани — равные равнобедренные треугольники. Плоский угол при вершине — это угол между двумя равными боковыми ребрами. Так как плоский угол при вершине равен 90°, то боковые грани — прямоугольные равнобедренные треугольники.

Пусть \( a \) — длина бокового ребра. Тогда площадь одной боковой грани равна \( S_{грани} = \frac{1}{2} a \cdot a \cdot \sin 90° = \frac{1}{2} a^2 \).

Так как пирамида треугольная, у нее 3 боковые грани. Площадь боковой поверхности пирамиды равна:

\( S_{бок} = 3 \cdot S_{грани} = 3 \cdot \frac{1}{2} a^2 = \frac{3}{2} a^2 \).

Теперь найдём площадь основания. Основанием является правильный треугольник \( ABC \). Пусть \( b \) — длина стороны основания.

В правильной треугольной пирамиде боковое ребро \( SA \) (или \( SB \), \( SC \)) является высотой, опущенной из вершины \( S \) на основание, если бы пирамида была прямоугольной. Однако, в данном случае, плоский угол при вершине — это угол между боковыми рёбрами. Обозначим боковые рёбра как \( SA = SB = SC = a \).

В правильной треугольной пирамиде боковые грани — равнобедренные треугольники. Если плоский угол при вершине равен 90°, это означает, что \( \angle ASB = \angle BSC = \angle CSA = 90° \).

Треугольники \( ASB, BSC, CSA \) — прямоугольные равнобедренные треугольники. Гипотенуза каждого из них является стороной основания пирамиды. Пусть \( b \) — длина стороны основания. Тогда по теореме Пифагора:

\( b^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 \) \( \implies b = a\sqrt{2} \).

Площадь правильного треугольника со стороной \( b \) равна:

\( S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} b^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (2a^2) = \frac{\sqrt{3}}{2} a^2 \).

Теперь найдём отношение площади боковой поверхности к площади основания:

\( \frac{S_{бок}}{S_{осн}} = \frac{\frac{3}{2} a^2}{\frac{\sqrt{3}}{2} a^2} = \frac{3/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \).

Ответ: \( \sqrt{3} \).