20. Решите уравнение (x - 3)^4 - 3(x - 3)^2 - 6 = 0

Решение:

Сделаем замену переменной. Пусть \( y = (x - 3)^2 \). Тогда исходное уравнение примет вид:

\( y^2 - 3y - 6 = 0 \)

Это квадратное уравнение относительно \( y \). Решим его, используя формулу дискриминанта \( D = b^2 - 4ac \).

Здесь \( a = 1 \), \( b = -3 \), \( c = -6 \).

\[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 9 + 24 = 33 \]

Найдем корни для \( y \):

\[ y_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{33}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \]

\[ y_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{33}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \]

Теперь вернёмся к замене \( y = (x - 3)^2 \).

Рассмотрим \( y_2 = \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \). Так как \( \sqrt{33} \) примерно 5.7, то \( 3 - \sqrt{33} < 0 \), а следовательно, \( y_2 < 0 \). Так как \( y = (x - 3)^2 \) всегда неотрицательно, то \( y_2 \) не может быть решением.

Рассмотрим \( y_1 = \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \). Это положительное число, значит, мы можем продолжить решение:

\[ (x - 3)^2 = \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \]

Извлечём квадратный корень из обеих частей:

\[ x - 3 = \pm \sqrt{\frac{3 + \sqrt{33}}{2}} \]

Выразим \( x \):

\[ x = 3 \pm \sqrt{\frac{3 + \sqrt{33}}{2}} \]

Таким образом, мы получили два корня:

\[ x_1 = 3 + \sqrt{\frac{3 + \sqrt{33}}{2}} \]

\[ x_2 = 3 - \sqrt{\frac{3 + \sqrt{33}}{2}} \]

Ответ: \( x = 3 \pm \sqrt{\frac{3 + \sqrt{33}}{2}} \)