20. Решите уравнение x^4 = (4x - 5)^2.

Решение:

Уравнение \( x^4 = (4x - 5)^2 \) можно решить, раскрыв квадратный корень с обеих сторон. Получаем два случая:

1. Случай 1: \( x^2 = 4x - 5 \)
• Перенесём все члены в одну сторону: \( x^2 - 4x + 5 = 0 \)
• Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4 \)
• Так как \( D < 0 \), в этом случае действительных корней нет.
2. Случай 2: \( x^2 = -(4x - 5) \)
• Раскроем скобки: \( x^2 = -4x + 5 \)
• Перенесём все члены в одну сторону: \( x^2 + 4x - 5 = 0 \)
• Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 \)
• Найдём корни: \( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \)
• \( x_1 = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)
• \( x_2 = \frac{-4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \)

Ответ: x = 1, x = -5.