21. Из городов А и В навстречу друг другу одновременно выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в В на 56 минут раньше, чем велосипедист приехал в А, а встретились они через 21 минуту после выезда. Сколько часов затратил на путь из В в А велосипедист?

Решение:

Обозначим расстояние между городами как \( S \) км.

Пусть \( v_м \) — скорость мотоциклиста, а \( v_в \) — скорость велосипедиста.

Время в пути измеряется в часах, поэтому переведём 56 минут в часы: \( 56 \text{ мин} = \frac{56}{60} \text{ ч} = \frac{14}{15} \text{ ч} \).

Пусть \( t_м \) — время мотоциклиста в пути, а \( t_в \) — время велосипедиста в пути.

Из условия задачи известно, что мотоциклист приехал в В на \( \frac{14}{15} \) часа раньше, чем велосипедист приехал в А. Значит:

\( t_м = t_в - \frac{14}{15} \) (1)

Они встретились через 21 минуту после выезда. Переведём 21 минуту в часы: \( 21 \text{ мин} = \frac{21}{60} \text{ ч} = \frac{7}{20} \text{ ч} \).

За это время мотоциклист проехал \( \frac{7}{20} v_м \) км, а велосипедист — \( \frac{7}{20} v_в \) км. Сумма этих расстояний равна расстоянию между городами:

\( \frac{7}{20} v_м + \frac{7}{20} v_в = S \) (2)

Также мы знаем, что \( S = v_м t_м \) и \( S = v_в t_в \).

Подставим \( t_м \) из (1) во второе уравнение:

\( S = v_м (t_в - \frac{14}{15}) \)

Из уравнения (2) выразим \( S \):

\( S = \frac{7}{20} (v_м + v_в) \)

Теперь рассмотрим расстояние, пройденное каждым из них до встречи:

\( v_м \cdot \frac{7}{20} = S - v_в \cdot \frac{7}{20} \) и \( v_в \cdot \frac{7}{20} = S - v_м \cdot \frac{7}{20} \)

Из \( S = v_м t_м \) и \( S = v_в t_в \) имеем \( v_м = \frac{S}{t_м} \) и \( v_в = \frac{S}{t_в} \).

Подставим это в уравнение (2):

\( \frac{7}{20} \frac{S}{t_м} + \frac{7}{20} \frac{S}{t_в} = S \)

Разделим обе части на \( S \) (так как \( S \neq 0 \)):

\( \frac{7}{20t_м} + \frac{7}{20t_в} = 1 \)

\( \frac{7}{20} (\frac{1}{t_м} + \frac{1}{t_в}) = 1 \)

\( \frac{1}{t_м} + \frac{1}{t_в} = \frac{20}{7} \)

Теперь подставим \( t_м = t_в - \frac{14}{15} \):

\( \frac{1}{t_в - \frac{14}{15}} + \frac{1}{t_в} = \frac{20}{7} \)

Приведём к общему знаменателю:

\( \frac{t_в + (t_в - \frac{14}{15})}{t_в(t_в - \frac{14}{15})} = \frac{20}{7} \)

\( \frac{2t_в - \frac{14}{15}}{t_в^2 - \frac{14}{15}t_в} = \frac{20}{7} \)

\( 7(2t_в - \frac{14}{15}) = 20(t_в^2 - \frac{14}{15}t_в) \)

\( 14t_в - \frac{98}{15} = 20t_в^2 - \frac{280}{15}t_в \)

\( 14t_в - \frac{98}{15} = 20t_в^2 - \frac{56}{3}t_в \)

Умножим всё на 15, чтобы избавиться от дробей:

\( 210t_в - 98 = 300t_в^2 - 280t_в \)

Перенесём все члены в одну сторону:

\( 300t_в^2 - 280t_в - 210t_в + 98 = 0 \)

\( 300t_в^2 - 490t_в + 98 = 0 \)

Разделим на 2:

\( 150t_в^2 - 245t_в + 49 = 0 \)

Решим квадратное уравнение относительно \( t_в \):

\( D = (-245)^2 - 4 \cdot 150 \cdot 49 = 60025 - 29400 = 30625 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{30625} = 175 \)

\( t_{в1} = \frac{245 + 175}{2 · 150} = \frac{420}{300} = \frac{42}{30} = \frac{7}{5} = 1.4 \text{ часа} \)

\( t_{в2} = \frac{245 - 175}{2 · 150} = \frac{70}{300} = \frac{7}{30} \text{ часа} \)

Теперь найдём \( t_м \) для каждого случая:

Если \( t_в = \frac{7}{5} \), то \( t_м = \frac{7}{5} - \frac{14}{15} = \frac{21 - 14}{15} = \frac{7}{15} \) часа. Это положительное значение, поэтому подходит.

Если \( t_в = \frac{7}{30} \), то \( t_м = \frac{7}{30} - \frac{14}{15} = \frac{7 - 28}{30} = -\frac{21}{30} \) часа. Время не может быть отрицательным, поэтому этот корень не подходит.

Итак, велосипедист затратил на путь из В в А \( \frac{7}{5} \) часа.

Переведём в часы и минуты: \( \frac{7}{5} \text{ ч} = 1 \frac{2}{5} \text{ ч} = 1 \text{ час} + \frac{2}{5} · 60 \text{ мин} = 1 \text{ час} + 24 \text{ мин} \).

Ответ: 1.4 часа.