20. Тело совершает гармонические колебания с амплитудой x_max и частотой ν. а) Объясните, почему смещение x и скорость v тела в любой момент времени связаны соотношением x²+(v/ω)²=x²_max. Подсказка. Воспользуйтесь законом сохранения энергии или тождеством sin²α+cos²α=1. б) Чему равен модуль скорости тела в момент, когда смещение равно половине амплитуды?

Пусть \(A=x_{\max}\), а циклическая частота \(\omega=2\pi\nu\). Гармоническое колебание можно записать так:

\[x=A\cos(\omega t+\varphi).\]

Скорость тела равна производной смещения:

\[v=-\omega A\sin(\omega t+\varphi).\]

Возведём оба выражения в квадрат и сложим:

\[x^2+\left(\frac{v}{\omega}\right)^2=A^2\cos^2(\omega t+\varphi)+A^2\sin^2(\omega t+\varphi).\]

Так как \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\), получаем:

\[x^2+\left(\frac{v}{\omega}\right)^2=A^2=x_{\max}^2.\]

При \(x=\frac{x_{\max}}{2}\):

\[\left(\frac{x_{\max}}{2}\right)^2+\left(\frac{v}{\omega}\right)^2=x_{\max}^2,\]

\[\left(\frac{v}{\omega}\right)^2=\frac{3x_{\max}^2}{4},\qquad |v|=\frac{\sqrt{3}}{2}\omega x_{\max}.\]

Ответ: \(|v|=\frac{\sqrt{3}}{2}\omega x_{\max}=\sqrt{3}\pi\nu x_{\max}\).