21. Тело совершает гармонические колебания. В момент, когда смещение тела равно 6 см, его скорость равна 30 см/с, а в момент, когда смещение равно 2 см, скорость тела равна 50 см/с. а) Чему равна частота колебаний? б) Чему равна амплитуда колебаний?

Для гармонических колебаний выполняется соотношение \(v^2+\omega^2x^2=\omega^2A^2\).

а) Найдём циклическую частоту.

Для двух состояний тела:

\[30^2+\omega^2\cdot6^2=\omega^2A^2,\]

\[50^2+\omega^2\cdot2^2=\omega^2A^2.\]

Приравняем правые части:

\[30^2+36\omega^2=50^2+4\omega^2,\]

\[32\omega^2=1600,\qquad \omega^2=50\ \text{с}^{-2}.\]

\[\omega=5\sqrt{2}\ \text{с}^{-1}.\]

Частота \(\nu=\frac{\omega}{2\pi}\):

\[\nu=\frac{5\sqrt{2}}{2\pi}\ \text{Гц}\approx1.13\ \text{Гц}.\]

б) Найдём амплитуду:

\[A^2=x^2+\frac{v^2}{\omega^2}=6^2+\frac{30^2}{50}=36+18=54\ \text{см}^2,\]

\[A=\sqrt{54}=3\sqrt{6}\ \text{см}\approx7.35\ \text{см}.\]

Ответ: а) \(\nu=\frac{5\sqrt{2}}{2\pi}\ \text{Гц}\approx1.13\ \text{Гц}\); б) \(A=3\sqrt{6}\ \text{см}\approx7.35\ \text{см}\).