20. Упростите выражение: $$ \frac{80^n}{4^{2n-1} \cdot 5^{n-2}} $$

Решение:

Чтобы упростить выражение, представим все числа в виде простых множителей:

1. Представим 80 и 4 в виде простых множителей: \( 80 = 8 \cdot 10 = 2^3 \cdot 2 \cdot 5 = 2^4 \cdot 5 \) и \( 4 = 2^2 \).
2. Подставим это в числитель и знаменатель:
   \[ \frac{(2^4 \cdot 5)^n}{(2^2)^{2n-1} \cdot 5^{n-2}} \]
3. Раскроем скобки, применяя свойства степеней (\( (a^m)^n = a^{m\cdot n} \) и \( (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \)):
   \[ \frac{2^{4n} \cdot 5^n}{2^{2(2n-1)} \cdot 5^{n-2}} = \frac{2^{4n} \cdot 5^n}{2^{4n-2} \cdot 5^{n-2}} \]
4. Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием (\( \frac{a^m}{a^k} = a^{m-k} \)):
   \[ 2^{4n - (4n-2)} \cdot 5^{n - (n-2)} = 2^{4n - 4n + 2} \cdot 5^{n - n + 2} = 2^2 \cdot 5^2 \]
5. Вычислим результат:
   \[ 2^2 \cdot 5^2 = 4 \cdot 25 = 100 \]

Ответ: 100