Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
21.13. Докажите, что значение выражения 1^{101} + 2^{101} + 3^{101} + … + 30^{101} делится на 31.
Ответ:
По модулю 31 числа \(1,2,\dots,30\) являются ненулевыми остатками. Так как \(101=30\cdot3+11\), достаточно использовать симметрию: для каждого \(k\) числа \(k\) и \(31-k\) дают сумму \[k^{101}+(31-k)^{101}\equiv k^{101}-k^{101}=0\pmod{31},\] поскольку 101 нечётно. Все слагаемые разбиваются на пары \((k,31-k)\), поэтому вся сумма делится на 31.
Похожие
- 21.5. Докажите, что при любом натуральном n значение выражения: 1) 15^n + 13 кратно 7; 2) 9^n + 5^n − 2 кратно 4; 3) 5·25^n + 13·13^{2n} кратно 9; 4) 21^n + 4^{n+2} кратно 17.
- 21.6. Докажите, что при любом натуральном n значение выражения: 1) 27^n + 12 кратно 13; 2) 17^n + 15 кратно 16; 3) 8^n + 15^n − 2 кратно 7; 4) 3·9^n + 7·7^{2n} кратно 10.
- 21.7. Докажите, что при любом натуральном n значение выражения: 1) 2^{2n}·5^n − 3^{2n} кратно 11; 2) 7^n·3^{3n} − 2^{2n} кратно 37.
- 21.8. Докажите, что число является составным: 1) 2^{1234}+1; 2) 1000…01 (16 нулей).
- 21.9. Докажите тождество: 1) x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = (x + 1)(x^2 + x + 1)(x^2 − x + 1); 2) (x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)^2 − x^5 = (1 + x + x^2 + x^3 + x^4)(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6).
- 21.10. Упростите выражение: 1) 3^99 + 2·3^98 + 2^2·3^97 + … + 3·2^98 + 2^100; 2) 4^20 − 3·4^19 + 3^2·4^18 − … − 4·3^19 + 3^20.
- 21.11. Известно, что n и a — натуральные числа (n > 1), а значение выражения a^n − 1 является простым числом. Найдите a.
- 21.12. Известно, что значение выражения 2^n + 1, где n — натуральное число, является простым числом. Докажите, что либо n = 1, либо n — степень числа 2.
- 21.14. Решите уравнение: 1) (1 + x + x^2)(1 + x + x^2 + x^3 + x^4) = (1 + x + x^2 + x^3)^2; 2) (1 + x + x^2 + x^3)(1 + x + x^2 + … + x^7) = (1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5)^2.
- 21.15. Докажите, что при любом натуральном n значение выражения: 1) 7·5^{2n} + 12·6^n делится на 19; 2) 7^{n+2} + 8^{2n+1} делится на 57; 3) 13^{n+2} + 14^{2n+1} делится на 183; 4) 3^{2n+2} + 2^{6n+1} делится на 11.
