Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
21.15. Докажите, что при любом натуральном n значение выражения: 1) 7·5^{2n} + 12·6^n делится на 19; 2) 7^{n+2} + 8^{2n+1} делится на 57; 3) 13^{n+2} + 14^{2n+1} делится на 183; 4) 3^{2n+2} + 2^{6n+1} делится на 11.
Ответ:
- Так как \(5^2=25\equiv6\pmod{19}\), то \(5^{2n}\equiv6^n\). Поэтому \(7\cdot5^{2n}+12\cdot6^n\equiv(7+12)6^n=19\cdot6^n\equiv0\pmod{19}\).
- \(8^2=64\equiv7\pmod{57}\), значит \(8^{2n+1}=8(8^2)^n\equiv8\cdot7^n\). Тогда \(7^{n+2}+8^{2n+1}\equiv497^n+8\text{·}7^n=57\text{·}7^n\equiv0\pmod{57}\).
- \(14^2=196\equiv13\text{ }3\text{ }d7 183\), поэтому \(14^{2n+1}3 14\text{·}13^n\). Следовательно, \(13^{n+2}+14^{2n+1}3169\text{·}13^n+14\text{·}13^n=183\text{·}13^n30\pmod{183}\).
- \(2^6=6439\text{ }3 3^2\pmod{11}\). Поэтому \(2^{6n+1}32\text{·}3^{2n}\). Тогда \(3^{2n+2}+2^{6n+1}39\text{·}3^{2n}+2\text{·}3^{2n}=11\text{·}3^{2n}30\pmod{11}\).
Похожие
- 21.5. Докажите, что при любом натуральном n значение выражения: 1) 15^n + 13 кратно 7; 2) 9^n + 5^n − 2 кратно 4; 3) 5·25^n + 13·13^{2n} кратно 9; 4) 21^n + 4^{n+2} кратно 17.
- 21.6. Докажите, что при любом натуральном n значение выражения: 1) 27^n + 12 кратно 13; 2) 17^n + 15 кратно 16; 3) 8^n + 15^n − 2 кратно 7; 4) 3·9^n + 7·7^{2n} кратно 10.
- 21.7. Докажите, что при любом натуральном n значение выражения: 1) 2^{2n}·5^n − 3^{2n} кратно 11; 2) 7^n·3^{3n} − 2^{2n} кратно 37.
- 21.8. Докажите, что число является составным: 1) 2^{1234}+1; 2) 1000…01 (16 нулей).
- 21.9. Докажите тождество: 1) x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = (x + 1)(x^2 + x + 1)(x^2 − x + 1); 2) (x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)^2 − x^5 = (1 + x + x^2 + x^3 + x^4)(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6).
- 21.10. Упростите выражение: 1) 3^99 + 2·3^98 + 2^2·3^97 + … + 3·2^98 + 2^100; 2) 4^20 − 3·4^19 + 3^2·4^18 − … − 4·3^19 + 3^20.
- 21.11. Известно, что n и a — натуральные числа (n > 1), а значение выражения a^n − 1 является простым числом. Найдите a.
- 21.12. Известно, что значение выражения 2^n + 1, где n — натуральное число, является простым числом. Докажите, что либо n = 1, либо n — степень числа 2.
- 21.13. Докажите, что значение выражения 1^{101} + 2^{101} + 3^{101} + … + 30^{101} делится на 31.
- 21.14. Решите уравнение: 1) (1 + x + x^2)(1 + x + x^2 + x^3 + x^4) = (1 + x + x^2 + x^3)^2; 2) (1 + x + x^2 + x^3)(1 + x + x^2 + … + x^7) = (1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5)^2.
