21. (3 балла) Решите уравнение 7 cos²x - 8 sinx - 8 = 0.

Решение:

1. Используем основное тригонометрическое тождество \( \text{cos}^2 x = 1 - \text{sin}^2 x \) для замены \( \text{cos}^2 x \) в уравнении: \( 7(1 - \text{sin}^2 x) - 8 \text{ sin } x - 8 = 0 \).
2. Раскроем скобки: \( 7 - 7 \text{ sin}^2 x - 8 \text{ sin } x - 8 = 0 \).
3. Приведём подобные слагаемые: \( -7 \text{ sin}^2 x - 8 \text{ sin } x - 1 = 0 \).
4. Умножим уравнение на -1 для удобства: \( 7 \text{ sin}^2 x + 8 \text{ sin } x + 1 = 0 \).
5. Введём замену переменной: пусть \( t = \text{sin } x \). Тогда получим квадратное уравнение: \( 7t^2 + 8t + 1 = 0 \).
6. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \times 7 \times 1 = 64 - 28 = 36 \).
7. Корни уравнения: \( t_1 = \frac{-8 + \text{ } extcircled{6}}{2 \times 7} = \frac{-2}{14} = -\frac{1}{7} \) и \( t_2 = \frac{-8 - \text{ } extcircled{6}}{2 \times 7} = \frac{-14}{14} = -1 \).
8. Подставим обратно \( t = \text{sin } x \):
• \( \text{sin } x = -1 \) ⇒ \( x = -\frac{\text{ } extcircled{3}}{2} + 2\text{ } extcircled{3}n \), где \( n \) — любое целое число.
• \( \text{sin } x = -\frac{1}{7} \) ⇒ \( x = \text{arcsin}(-\frac{1}{7}) + 2\text{ } extcircled{3}k \) или \( x = \text{ } extcircled{3} - \text{arcsin}(-\frac{1}{7}) + 2\text{ } extcircled{3}k \), где \( k \) — любое целое число.

Ответ: \( x = -\frac{\text{ } extcircled{3}}{2} + 2\text{ } extcircled{3}n \) и \( x = \text{ } extcircled{3} + \text{arcsin}\frac{1}{7} + 2\text{ } extcircled{3}k \) и \( x = 2\text{ } extcircled{3} - \text{arcsin}\frac{1}{7} + 2\text{ } extcircled{3}k \), где \( n, k \) — целые числа.