22. (3 балла) Исследуйте функцию и постройте график: f(x) = x⁴ - 2x² - 3.

Исследование функции \( f(x) = x^4 - 2x^2 - 3 \)

1. Область определения функции (D(f)): \( (-\infty; +\infty) \), так как функция является многочленом.
2. Область значения функции (E(f)): Найдём минимальное значение функции.
3. Четность (нечетность) функции: \( f(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 - 3 = x^4 - 2x^2 - 3 = f(x) \). Функция чётная.
4. Точки пересечения с осями координат:
• С осью Oy: \( x = 0 \) ⇒ \( f(0) = 0^4 - 2(0)^2 - 3 = -3 \). Точка \( (0; -3) \).
• С осью Ox: \( f(x) = 0 \) ⇒ \( x^4 - 2x^2 - 3 = 0 \). Пусть \( t = x^2 \) (\( t ≥ 0 \)). Тогда \( t^2 - 2t - 3 = 0 \). \( D = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16 \). \( t_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3 \), \( t_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1 \). Так как \( t = x^2 ≥ 0 \), то \( x^2 = 3 \) ⇒ \( x = \text{ } extcircled{3} \) и \( x = -\text{ } extcircled{3} \). Точки \( (\text{ } extcircled{3}; 0) \) и \( (-\text{ } extcircled{3}; 0) \).
5. Производная функции (f'(x)): \( f'(x) = (x^4 - 2x^2 - 3)' = 4x^3 - 4x \).
6. Стационарные точки: \( f'(x) = 0 \) ⇒ \( 4x^3 - 4x = 0 \) ⇒ \( 4x(x^2 - 1) = 0 \). \( x = 0 \) или \( x^2 = 1 \) ⇒ \( x = 0, x = 1, x = -1 \).
7. Промежутки возрастания и убывания:
• При \( x < -1 \) (например, \( x = -2 \)): \( f'(-2) = 4(-2)((-2)^2 - 1) = -8(3) = -24 < 0 \). Функция убывает.
• При \( -1 < x < 0 \) (например, \( x = -0.5 \)): \( f'(-0.5) = 4(-0.5)((-0.5)^2 - 1) = -2(0.25 - 1) = -2(-0.75) = 1.5 > 0 \). Функция возрастает.
• При \( 0 < x < 1 \) (например, \( x = 0.5 \)): \( f'(0.5) = 4(0.5)((0.5)^2 - 1) = 2(0.25 - 1) = 2(-0.75) = -1.5 < 0 \). Функция убывает.
• При \( x > 1 \) (например, \( x = 2 \)): \( f'(2) = 4(2)(2^2 - 1) = 8(3) = 24 > 0 \). Функция возрастает.
8. Точки экстремума:
• \( x = -1 \) (минимум): \( f(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 - 3 = 1 - 2 - 3 = -4 \). Точка \( (-1; -4) \).
• \( x = 0 \) (максимум): \( f(0) = -3 \). Точка \( (0; -3) \).
• \( x = 1 \) (минимум): \( f(1) = 1^4 - 2(1)^2 - 3 = 1 - 2 - 3 = -4 \). Точка \( (1; -4) \).
9. Область значения функции (E(f)): \( [-4; +\infty) \).
10. Таблица:

x	-∞	-1	-1...0	0	0...1	1	1...+∞
f'(x)	-	0	+	0	-	0	+
f(x)	+∞	↓	-4	↗	-3	↘	-4	↗	+∞

11. Дополнительные точки: \( (\text{ } extcircled{3}; 0), (-\text{ } extcircled{3}; 0) \).
12. Асимптоты: Отсутствуют, так как функция — многочлен.

Ответ: Функция чётная, область определения \( (-\infty; +\infty) \), область значения \( [-4; +\infty) \). Минимумы в точках \( (-1; -4) \) и \( (1; -4) \), максимум в точке \( (0; -3) \). Пересекает оси в точках \( (0; -3), (\text{ } extcircled{3}; 0), (-\text{ } extcircled{3}; 0) \).