21. Баржа прошла по течению реки 81 км и, повернув обратно, прошла ещё 42 км, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

Привет! Давай разберемся с этой задачей про баржу. Нам нужно найти ее собственную скорость.

Что нам известно:

• Расстояние по течению: \( S_1 = 81 \) км.
• Расстояние против течения: \( S_2 = 42 \) км.
• Общее время в пути: \( T_{всего} = 5 \) часов.
• Скорость течения реки: \( v_{теч} = 3 \) км/ч.

Что нужно найти:

• Собственную скорость баржи: \( v_{собств} \) км/ч.

Как будем решать:

Скорость баржи по течению будет равна сумме ее собственной скорости и скорости течения: \( v_{тек} = v_{собств} + v_{теч} \). Скорость баржи против течения будет равна разности собственной скорости и скорости течения: \( v_{против} = v_{собств} - v_{теч} \).

Время, затраченное на путь, равно расстоянию, деленному на скорость: \( t = \frac{S}{v} \).

Давай обозначим собственную скорость баржи как \( x \) км/ч. Тогда:

• Скорость по течению: \( x + 3 \) км/ч.
• Скорость против течения: \( x - 3 \) км/ч.

Время в пути по течению:

\[ t_1 = \frac{81}{x+3} \]

Время в пути против течения:

\[ t_2 = \frac{42}{x-3} \]

Общее время в пути — это сумма времени по течению и времени против течения:

\[ t_1 + t_2 = 5 \]

\[ \frac{81}{x+3} + \frac{42}{x-3} = 5 \]

Теперь решим это уравнение. Сначала найдем общий знаменатель, который равен \( (x+3)(x-3) \). Не забываем, что \( x \) должно быть больше скорости течения, чтобы баржа могла двигаться против него, то есть \( x > 3 \).

Умножим обе части уравнения на \( (x+3)(x-3) \):

\[ 81(x-3) + 42(x+3) = 5(x+3)(x-3) \]

Раскроем скобки:

\[ 81x - 243 + 42x + 126 = 5(x^2 - 9) \]

\[ 123x - 117 = 5x^2 - 45 \]

Перенесем все в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ 5x^2 - 123x - 45 + 117 = 0 \]

\[ 5x^2 - 123x + 72 = 0 \]

Теперь найдем дискриминант \( D = b^2 - 4ac \):

\[ D = (-123)^2 - 4 \times 5 \times 72 \]

\[ D = 15129 - 1440 \]

\[ D = 13689 \]

Найдем корень из дискриминанта:

\[ \sqrt{D} = \sqrt{13689} = 117 \]

Теперь найдем корни \( x \) по формуле \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \):

\[ x_1 = \frac{123 + 117}{2 \times 5} = \frac{240}{10} = 24 \]

\[ x_2 = \frac{123 - 117}{2 \times 5} = \frac{6}{10} = 0.6 \]

Мы получили два возможных значения для собственной скорости баржи: 24 км/ч и 0.6 км/ч.

Вспомним наше условие, что \( x > 3 \) (собственная скорость должна быть больше скорости течения, чтобы баржа могла двигаться против течения).

• \( x_1 = 24 \) км/ч. Это значение больше 3, значит, оно подходит.
• \( x_2 = 0.6 \) км/ч. Это значение меньше 3, значит, баржа не смогла бы двигаться против течения с такой скоростью. Этот корень нам не подходит.

Таким образом, собственная скорость баржи равна 24 км/ч.

Ответ: 24