21. Найдите площадь полной поверхности конуса, если высота равна 4см, а величина угла при вершине осевого сечения равна 90°.

Решение:

Осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник с углом при вершине 90°.

Высота конуса \( h = 4 \) см.

В осевом сечении высота является биссектрисой и медианой. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, радиусом основания и образующей.

Угол при вершине осевого сечения равен 90°, значит, угол при основании этого треугольника равен \( (180° - 90°)/2 = 45° \).

В прямоугольном треугольнике, образованном высотой, радиусом и образующей: \( \tan(45°) = \frac{r}{h} \) .

\( 1 = \frac{r}{4} \) , следовательно, \( r = 4 \) см.

Найдем образующую \( l \) по теореме Пифагора: \( l^2 = r^2 + h^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32 \) .

\( l = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \) см.

Площадь полной поверхности конуса: \( S_{полн} = \pi r (r+l) \) .

\( S_{полн} = \pi \cdot 4 (4 + 4\sqrt{2}) = 4\pi (4 + 4\sqrt{2}) = 16\pi (1 + \sqrt{2}) \) см².

Ответ: \( 16\pi (1 + \sqrt{2}) \) см².